Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu với các bạn một số bài toán rất "kỳ lạ". Kỳ lạ ở đây xét đến khía cạnh khoảng cách giữa những nội dung đã biết và chưa biết tưởng như rất gần nhưng hóa ra lại rất xa.

I. Về số Frobenious.

Bài toán 1.1. Cho hai số nguyên dương a,b sao cho (a,b)=1. Giải phương trình nghiệm nguyên: ax+by=1.

Bài toán này chỉ ở mức độ dành cho các học sinh khá ở lớp 6. Ví dụ với phương trình 3x+5y=1 ta được nghiệm x=2+5t; y=-1-3t trong đó t là một số nguyên tùy ý.

Bài toán 1.2. Cho ba số nguyên dương a,b,c sao cho (a,n)=1. Giải phương trình nghiệm nguyên: ax+by=c.

Bài toán này cũng chỉ ở mức độ dành cho các học sinh khá ở lớp 6. Ví dụ với phương trình 3x+5y=7 ta được nghiệm x=14+5t; y=-7-3t trong đó t là một số nguyên tùy ý.

Trong bài toán 1.2, nếu thay điều kiện nghiệm nguyên bằng điều kiện nghiệm nguyên không âm thì điều gì sẽ xảy ra?

Chúng ta dễ nhận thấy với điều kiện x,y là số nguyên không âm phương trình 3x+5y=7  là vô nghiệm vì 14+5t≥0 và -7-3t≥0 không xảy ra với bất kỳ số nguyên t nào.

Nhưng phương trình 3x+5y=11 với điều kiện nghiệm nguyên sẽ là x=22+5t; y=-11-3t trong đó t là một số nguyên tùy ý và với t=-4 ta suy ra x=2, y=1 là nghiệm nguyên không âm của phương trình. Bằng tính toán đơn giản chúng ta có thể khẳng định phương trình 3x+5y=c luôn có nghiệm không âm với  là số nguyên dương không nhỏ hơn 8.

Câu hỏi đặt ra là với số nguyên dương c như thế nào thì phương trình ax+by=c có nghiệm (hoặc vô nghiêm) không âm. Chúng ta dễ dàng suy luận được rằng nếu ax+by=c có nghiệm không âm  thì khi ta thay c bởi một số nguyên dương c₁≥c phương trình ax+by=c₁ cũng sẽ có nghiệm không âm. Điều này dẫn đến bài toán sau:

Bài toán 1.3. Cho hai số nguyên dương a,b sao cho (a,b)=1. Tìm số nguyên dương c lớn nhất sao cho phương trình ax+by=c không có ngiệm nguyên không âm.

Số c trong Bài toán 1.3 được gọi là số Frobenious của hai số nguyên dương a,b và ký hiệu là F(a,b). Như vậy Bài toán 1.3 chính là việc xác định số Frobenious của hai số nguyên dương a,b. Lời giải Bài toán 1.3 được đưa ra bởi nhà Toán học Sylvester vào năm 1884.

Định lý  Sylvester.     F(a,b)=ab-a-b.

Lời giải bài toán này hoàn toàn sơ cấp và có thể xem là một bài tập dành cho đối tượng HSG phổ thông. Như vậy với phương trình 3x+5y=c, số nguyên dương c lớn nhất để nó vô nghiệm là c=F(3,5)=3.5-3-5=7. Đề nghị các bạn đọc tự tìm tòi lời giải của Định lý Sylvester hoặc cập nhật trong tài liệu trên mạng. Tổng quát Bài toán 1.3 chúng ta có bài toán sau:

Bài toán 1.4. Cho n số nguyên dương a₁, a₂,…, a_n sao cho (a₁, a₂,…, a_n)=1. Tìm số nguyên dương c lớn nhất sao cho phương trình a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=c không có ngiệm nguyên không âm.

Số c trong Bài toán 1.4 được gọi là số Frobenious của n số nguyên dương a₁, a₂,…, a_n và ký hiệu là F(a₁, a₂,…, a_n). Theo Định lý Sylvester với n=2, F(a₁,a₂)=a₁a₂-a₁a₂. Nhưng với n≥3 bài toán cho đến nay vẫn còn là thánh thức cho các nhà Toán học. Thậm chí trong trường hợp n=3 người ta cũng chỉ mới tính được F(a₁,a₂,a₃) cho một số trường hợp riêng (nghĩa là phải thêm vào một số điều kiện của a₁, a₂, a₃).

II. Về số nguyên tố Fermat.

Bài toán 2.1. Cho số nguyên dương k=2^m+1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m=1 hoặc m=2ⁿ  với n là số nguyên dương nào đó.  

Bài toán này cũng chỉ ở mức độ dành cho các học sinh giỏi ở trung học cơ sở. Số nguyên tố có dạng trên được gọi là số nguyên tố Fermat. Nhà Toán học Fermat cho rằng các số F­_n­= 2^{2^n}+1 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n Ông đã kiểm tra nhận định đó với n=0, 1, 2, 3, 4 và nhận thấy F₀, F₁, F₂, F₃, F₄ đều là số nguyên tố. Tuy nhiên sau đó Euler đã chỉ ra rằng F₅=2^{2^5}+1 không là số nguyên tố. Hiện nay người ta đã tìm thấy rất nhiều số nguyên tố cũng như hợp số có dạng 2^{2^n}+1. Từ đó chúng ta ta có bài toán sau:

Bài toán 2.2. Số các số nguyên tố Fermat F_n=2^{2^n}+1 là vô hạn hay hữu hạn.

Bài toán này hiện nay vẫn là bài toán mở đang được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu. Rất kỳ lạ, các số nguyên tố Fermat lại liên quan đến bài toán dùng thước kẻ và compa để dựng đa giác đều cạnh và lý thuyết Galois.

Định lý 2.3. Một hình phẳng có thể dựng được bằng thước kẻ và compa khi và chỉ khi nhóm Galois của phép dựng đó là nhóm Z₂.

Sử dụng định lý này người ta chúng minh được các đại lượng độ dài có số đo hữu tỉ, hoặc căn bậc 2ⁿ của số hữu tỉ là dựng được bằng thước kẻ và compa. Tuy nhiên đại lượng độ dài bằng căn bậc 3 của một số hữu tỉ là không dựng được bằng thước kẻ và compa. Từ đó kết luận bài toán cổ Hy Lạp dùng thước kẻ và compa dựng một khối lập phương có thể tích gấp đôi khối lập phương cạnh bằng 1 là không dựng được (bài toán quy về dựng đoạn thẳng có độ dài căn bậc 3 của 2).

Sử dụng Định lý 2.3 người ta đưa ra kết quả sau:

Định lý 2.4. Đa giác đều n cạnh có thể dựng được bằng thước kẻ và compa khi và chỉ khi n có sự phân tích tiêu chuẩn dạng n=2^sp₁^a1p₂^a2…p_k^ak trong đó s, a1,a2,…ak là các số tự nhiên và p₁, p₂, …, p_k là các số nguyên tố Fermat khác nhau.

Sử dụng Định lý 2.4, chúng ta nhận thấy các đa giác đều với số cạnh 3, 4, 5,6, 8, 9, 10, 12, 15, 17, ... là dựng được bằng thước kẻ và compa nhưng các đa giác đều 7, 11, 13, 19, ... lại không dựng được bằng thước kẻ và compa. Nhà Toán học Gauss là người đầu tiên dựng được đa giác đều 17=2^{2^2}+1 cạnh khi ông 19 tuổi và khi mất trong di chúc Gauss đề nghị dựng đa giác đều 17 cạnh trên lăng mộ của ông. Hiện nay trên lăng mộ của Gauss vẫn còn đa giác đều 17 cạnh trong di chúc.

III. Về số giả nguyên tố Carmichael.

Bài toán 3.1. Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên sao cho (a,p)=1  Chứng minh rằng a^p-1≡1 (modp)

Bài toán 3.1, có tên gọi là Định lý Fermat bé. Lời giải bài toán này hoàn toàn sơ cấp chỉ cần dùng đến kiến thức Toán học THCS. Ngoài ra với kiến thức Đại số đại cương (Nhóm, vành, trường) các bạn sinh viên có thể tìm ra một chứng minh dùng Toán cao cấp của Bài toán 3.1. Sử dụng Định lý Fermat bé chúng ta có thể giải được nhiều bài toán Số học dành cho học sinh phổ thông. Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1. Cho x,y là các số nguyên sao cho x²+y² chia hết cho 3 Chứng minh rằng x,y cùng chia hết cho 3.

Ví dụ 2. Cho p=4k+3 là một số nguyên tố và x,y là các số nguyên sao cho x²+y² chia hết cho p. Chứng minh rằng x,y cùng chia hết cho p

Đây là các bài tập nhỏ đề nghị các bạn đọc tự giải.

Nếu quan tâm đến Bài toán đảo của 3.1, chúng ta có câu hỏi sau:

Bài toán 3.2. Nếu p là một số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên a thỏa mãn (a,p)=1 có tính chất a^p-1≡1 (modp) thì p có phải là số nguyên tố?

Câu trả lời p không nhất thiết là số nguyên tố. Ví dụ 561 là hợp số nhưng a⁵⁶⁰≡1 (mod561) với mọi số nguyên a sao cho (a,561)=1. Đây cũng là một bài toán số học đơn giản đề nghị bạn đọc tự tìm kiếm lời giải.

Hợp số  thỏa mãn điều kiện Bài toán 3.2 được gọi là số giả nguyên tố Carmichael. Như vậy 561 là một ví dụ về số giả nguyên tố Carmichael. Bài toán nghiên cứu tính chất vô hạn hay hữu hạn đã được hoàn thiện bởi nhà Toán học Euclide từ thế kỷ III, trước công nguyên.

Định lý 3.3. (Euclide). Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Chứng minh Định lý Euclide có thể xem là một bài tập khó cho học sinh lớp 6. Bạn đọc có thể tự chứng minh Định lý Euclide.

Bài toán 3.4. Nghiên cứu tính chất vô hạn hay hữu hạn của số giả nguyên tố Carmichael?

Bài toán này là một vấn đề mở rất khó tồn tại xuyên suốt thế kỷ XX. Kết quả sau đây mới được ba nhà Toán học W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance chứng minh năm 1994 trong một bài báo đăng ở một tạp chí nổi tiếng về toán:

Định lý 3.5 (W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance). Tập hợp các số giả nguyên tố Carmichael là vô hạn.

Qua các kết quả trên các bạn đọc chắc cảm thấy số học có rất nhiều điều kỳ thú đang chờ được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.