Khoa Sư phạm

Trong lịch sử toán học, hiếm có bài toán nào vừa giản dị trong phát biểu, vừa thách thức trí tuệ nhân loại suốt hơn ba thế kỷ như định lý Fermat lớn. Chỉ bằng một ghi chú ngắn ngủi bên lề cuốn Arithmetica vào năm 1637, Pierre de Fermat đã để lại một bí ẩn số học đẹp đẽ với lời giải tuyệt diệu mà lề sách nhỏ không thể viết ra được. Từ đó, biết bao thế hệ các nhà toán học đã bị cuốn vào cuộc hành trình đi tìm lời giải. Mãi đến hơn 350 năm sau, nhà toán học người Anh - Andrew Wiles - mới công bố chứng minh hoàn chỉnh cho định lý này, chứng minh này đại diện cho sức mạnh của đam mê, bền bỉ và tinh thần khám phá tri thức của con người.

Pierre de Fermat (1607–1665) là một luật gia người Pháp, làm việc tại tòa án Tối cao Toulouse, nhưng ông được biết đến nhiều hơn như một nhà toán học nghiệp dư xuất sắc. Dù không giảng dạy hay viết sách, Fermat lại có niềm yêu thích đặc biệt đối với các bài toán số học, hình học và phương trình Diophantine. Các ý tưởng của ông thường được trình bày qua thư từ trao đổi với Descartes, Pascal và nhiều nhà toán học đương thời. Ông có thói quen ghi những nhận xét ngắn ở lề sách, và một trong những ghi chú đó đã trở thành bài toán thách thức toán học suốt hơn ba thế kỷ. Định lý Fermat bắt nguồn từ một ghi chú của Pierre de Fermat viết vào khoảng năm 1637 trên lề cuốn Arithmetica của Diophantus. Trong đó, ông khẳng định rằng phương trình a^n + b^n = c^n không có nghiệm nguyên dương khi n>2, và nói rằng ông có một chứng minh tuyệt vời nhưng lề sách quá hẹp để ghi lại. Định lý Fermat lớn ngắn gọn, dễ hiểu ngay cả với học sinh phổ thông, nhưng việc chứng minh nó lại vượt xa khả năng của các phương pháp toán học truyền thống trong suốt nhiều thế kỷ. Chú thích ngắn ngủi của Fermat đã trở thành lời thách đố lớn của toán học thế giới, thôi thúc biết bao thế hệ các nhà toán học tìm kiếm lời giải.

Ảnh 1. Nhà toán học Pierre de Fermat

Tuy Fermat không đưa ra lời giải cho cả bài toán nhưng ông đưa ra được chứng minh cho trường hợp n=4 bằng phương pháp xuống thang, một kỹ thuật do ông phát triển. Ý tưởng chính để chứng minh là từ một nghiệm nguyên dương giả định, Fermat chỉ ra có thể tạo ra một nghiệm nhỏ hơn, rồi lại nhỏ hơn nữa, dẫn đến chuỗi vô hạn giảm dần - điều không thể xảy ra với số nguyên dương. Sau khi Fermat qua đời, thông qua các bài toán số học ông trao đổi thư từ với Mersenne và Pascal, các nhà sử học ước đoán trường hợp này được chứng minh trong khoảng thời gian 1640–1650.

Vào năm 1770, Leonhard Euler (1707–1783) công bố chứng minh cho trường hợp n=3 bằng cách sử dụng các tính chất của số nguyên trong những vành đặc biệt, mở rộng công cụ số học so với thời Fermat. Trong cùng giai đoạn, Euler cũng đưa ra lập luận cho trường hợp n=4 dựa trên phương pháp xuống thang, tương ứng với hướng tiếp cận mà Fermat đã sử dụng trước đó.

Năm 1828, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) công bố chứng minh cho trường hợp số mũ n=5, trong đó ông sử dụng các phương pháp số học cổ điển để loại trừ khả năng tồn tại nghiệm nguyên không tầm thường của phương trình a^5 + b^5 = c^5. Công trình của Dirichlet đã trở thành một mốc quan trọng trong chuỗi các kết quả từng phần hướng tới việc hiểu rõ hơn về bài toán Fermat.

Ảnh 2. Một trang sách Arithmetica của Diophantus

Gabriel Lamé (1795–1870) là một trong những nhà toán học đóng góp vào việc khảo sát Định lý Fermat lớn trong thế kỷ XIX. Năm 1839, ông công bố chứng minh cho trường hợp số mũ n=7, sử dụng các phương pháp số học đại số dựa trên tính chất của các số nguyên Gauss. Kết quả này cùng với những chứng minh cho các số mũ nhỏ khác đã góp phần mở rộng hiểu biết về tính vô nghiệm nguyên của phương trình a^n + b^n = c^n trong các trường hợp cụ thể trước khi định lý được giải quyết hoàn toàn.

Trong các thế kỷ XVII–XIX, hướng tiếp cận định lý Fermat lớn là giải quyết các trường hợp riêng lẻ cho từng số mũ, trong thế kỷ XX, sự hình thành và phát triển các công cụ sâu hơn của các ngành toán học hiện đại góp phần giải quyết bài toán nổi tiếng này. Năm 1950–1970 một bước ngoặt quan trọng để chứng minh định lý Fermat lớn xuất hiện với công trình của Yutaka Taniyama và Goro Shimura, đưa ra giả thuyết Taniyama–Shimura liên kết đường cong elliptic với dạng modular. Tiếp đó, Gerd Faltings chứng minh định lý Mordell năm 1983, tạo nên nền tảng quan trọng cho lý thuyết đường cong elliptic hiện đại. Một đột phá quyết định đến vào năm 1986 khi Ken Ribet chứng minh định lý Epsilon, khẳng định rằng nếu giả thuyết Taniyama–Shimura đúng cho một lớp đường cong Eliptic nhất định thì định lý Fermat lớn sẽ được chứng minh. Tất cả những bước tiến này mở đường cho công trình của Andrew Wiles vào năm 1994, khi ông chứng minh phần đủ của giả thuyết Taniyama–Shimura cho các đường cong elliptic bán ổn định, qua đó hoàn tất lời giải Định lý Fermat lớn.

Ảnh 3. Nhà toán học Andrew Wiles

Andrew Wiles (sinh năm 1953) là một nhà toán học người Anh, chuyên gia về lý thuyết số và các dạng môđun. Ông lớn lên tại Cambridge và từ nhỏ đã say mê bài toán Fermat lớn sau khi tình cờ đọc được về nó trong một cuốn sách thiếu nhi. Wiles theo đuổi sự nghiệp nghiên cứu tại đại học Cambridge, sau đó làm việc tại Princeton University, nơi ông trở thành một trong những nhà toán học hàng đầu trong lĩnh vực đường cong elliptic. Hành trình giải quyết định lý Fermat lớn của Andrew Wiles bắt đầu từ mùa hè năm 1986, khi ông nghe Ken Ribet trình bày chứng minh định lý Epsilon, cho thấy rằng nếu giả thuyết Taniyama–Shimura đúng cho các đường cong Eliptic bán ổn định thì định lý Fermat lớn sẽ được chứng minh. Nhận ra đây là chìa khóa để giải bài toán tuổi thơ, Wiles âm thầm bắt đầu một chương trình nghiên cứu bí mật kéo dài bảy năm. Trong thời gian này, ông làm việc gần như hoàn toàn cô lập, phát triển các kỹ thuật mới trong lý thuyết số đại số, đặc biệt là phương pháp “modular lifting” và lý thuyết về các biểu diễn Galois. Tháng 6 năm 1993, Wiles công bố bản chứng minh tại Cambridge trong loạt bài giảng gây tiếng vang lớn. Tuy nhiên, vào cuối năm đó, các nhà toán học phát hiện một lỗ hổng quan trọng trong phần lập luận chủ chốt. Wiles hợp tác với học trò cũ của mình là Richard Taylor nỗ lực sửa chữa, đến tháng 9 năm 1994, họ tìm ra cách khắc phục bằng một kỹ thuật hoàn toàn mới, dẫn đến chứng minh hoàn chỉnh định lý modular cho các đường cong Eliptic bán ổn định. Kết quả này đồng thời khẳng định định lý Fermat lớn là đúng, kết thúc hành trình kéo dài hơn 350 năm.

Như vậy, từ bài toán Fermat viết bên lề sách của Diophantine ngay cả học sinh phổ thông có thể hiểu đến chứng minh hơn 200 trang sau ba thế kỷ rưỡi của Andrew Wiles và cộng sự đã để lại một dấu ấn sâu đậm trong lịch sử toán học. Từ những nỗ lực chứng minh từng trường hợp riêng lẻ, đến sự hình thành của những lý thuyết trừu tượng như đường cong elliptic, dạng môđun và biểu diễn Galois, hành trình ấy phản ánh sự phát triển liên tục và mạnh mẽ của toán học hiện đại. Công trình của Andrew Wiles và Richard Taylor không chỉ hoàn tất một định lý lâu đời mà còn cho thấy sức mạnh của sự kết nối giữa các lĩnh vực tưởng như xa rời nhau, làm sáng tỏ những mối quan hệ sâu xa giữa các cấu trúc vốn tưởng chừng độc lập. Lời giải của Fermat vì thế không chỉ khép lại một chương lịch sử kéo dài hơn 350 năm, mà còn mở ra những hướng nghiên cứu mới, tiếp tục truyền cảm hứng cho các thế hệ toán học tương lai.