Khoa Sư phạm

1. Số nguyên tố là gì?

Số  nguyên tố là những số tự  nhiên chỉ có đúng hai ước số tự nhiên là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong lý thuyết số, theo định lý cơ bản của số học mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích ra thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất (bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số). Chẳng hạn, một số số nguyên tố nhỏ hơn 50 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

2. Tính vô hạn của tập các số nguyên tố?

Số nguyên tố được phát minh từ rất sớm, ít nhất các nhà Toán học Hy Lạp cổ đại đã biết đến sự tồn tại của các số nguyên tố và ở thời kỳ đó, các nhà Toán học đã quan tâm đến tính vô hạn hay hữu hạn của tập các số nguyên tố. Nhà toán học Euclid phát biểu và chứng minh trong bộ sách Cơ bản của ông vào khoảng thế kỷ III, Trước Công nguyên về vấn đề này, ông đã khẳng định tập số nguyên tố là vô hạn. Tuy vậy, sau này, nhiều nhà toán học vẫn quan tâm đến việc chứng minh tính vô hạn của tập hợp số nguyên tố theo những cách tiếp cận khác nhau, và đưa ra nhiều chứng minh cho vấn đề này.  

      Euclide (phiên âm tiếng Việt là Ơ-clít) là nhà toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỉ 3 TCN. Ông được mệnh danh là "cha đẻ của hình học". Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được đề cập một cách có hệ thống, chính xác trong bộ sách Cơ bản gồm 13 cuốn do Euclide viết ra, và đó cũng là bộ sách có ảnh hưởng nhất trong Lịch sử toán học kể từ khi nó được xuất bản đến cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Ngoài ra ông còn tham gia nghiên cứu về đường cô-nic, lý thuyết số... Tục truyền rằng có lần vua Ptolemaios I Soter hỏi Euclide rằng liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không? Ông trả lời ngay: "Muôn tâu Bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa".

Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung, khái quát

và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ bản đồ sộ của Euclide đã đặt nền móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian. Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 tiên đề:

1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

Và 5 định đề:

1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.

Với các tiên đề và định đề đó, Euclide đã chứng minh được tất cả các tính chất hình học.

       Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclide còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề.

Trở lại vấn đề có bao nhiêu số nguyên tố, nhà toán học Euclid phát biểu và chứng minh trong bộ sách Cơ bản của ông rằng có vô số số nguyên tố, chứng minh này trả lời trọn vẹn cho câu hỏi mà các nhà toán học trước đó và cùng thời với ông quan tâm.

Chân dung Euclid do họa sĩ Justus van Ghent phác họa vào thế kỉ 15.​​​​​​

       III. Định lý Euclide dưới góc nhìn của Toán học hiện đại.

      Tô pô hay tô pô học là một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính vẫn được bảo toàn khi bị biến dạng, bị xoắn và bị kéo giãn, ngoại trừ việc bị xé rách hoặc bị dán dính. Do đó, tô pô còn được mệnh danh là "hình học của màng cao su". Các đặc tính đó gọi là các bất biến tôpô. Khi ngành học này lần đầu tiên tìm ra trong những năm đầu của thế kỉ 20 thì nó vẫn được gọi bằng tiếng Latinh là geometria situs (hình học của nơi chốn) và analysis situs (giải tích nơi chốn). Từ khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc nhất của toán học.

Như đã biết, có nhiều chứng minh cho sự tồn tại vô hạn của các số nguyên tố. Trong số đó phải kể đến chứng minh cực kỳ đơn giản của Euclide được trình bày ở trên hay phép chứng minh thông qua việc giới thiệu hàm Zeta (cho biến thực) của Euler. Tuy nhiên, chúng ta sẽ tìm hiểu  một chứng minh khá nổi tiếng khác: chứng minh bằng “tôpô” của H. Furstenberg. Điều đáng nói ở đây là chứng minh được đăng trên tạp chí AMM  (American Mathematical Monthly) năm 1955 khi Furstenberg còn đang là một sinh viên đại học.

Hillel Furstenberg là một nhà Toán học Hoa Kỳ gốc Do Thái. Ông sinh ngày 29/9/1935 tại Berlin (Đức) và năm 1939 gia đình ông chuyển đến Hoa Kỳ để tránh phong trào diệt chủng người Do Thái do phát xít Đức phát động. Năm 1955, khi còn là sinh viên ông đưa ra chứng minh tôpô cho Định lý Euclide. Năm 1958, ông bảo vệ luận án tiến sĩ tại Đại học Princeton. Hiện nay, ông là GS Toán tại Đại học Hebrew tại Jerusalem (Israel). Năm 2020, ông được trao giải Abel (cùng với nhà Toán học Nga gốc Do Thái là Grigory Margulis) "cho vai trò tiên phong trong sử dụng các phương pháp từ Lý thuyết hệ động lực và Lý thuyết xác suất vào Lý thuyết nhóm, Lý thuyết số và Lý thuyết tổ hợp”.

Hillel Furstenberg

                                                                                                                           Sưu tầm.