Khoa Sư phạm

Vận dụng phương pháp giả thiết tạm vào giải các bài Toán nâng cao cho học sinh Tiểu học

                                     Lê Thị Nga-Khoa Sư phạm

1. Đặt vấn đề

Phương pháp dùng giả thiết tạm là một phương pháp điển hình, một thuật toán, một công cụ có hiệu quả để giải những bài toán có lời văn ở lớp 4, 5. Khi giải bằng phương pháp này đòi hỏingười học phải có trí tưởng tượng phong phú và phải biết vận dụng một cách linh hoạt.

Phương pháp giả thiết tạmrất có ý nghĩa, nó sẽ giúp hiểu rõ phương pháp này có thể giúp cho học sinh của mình vận dụng linh hoạt trong việc giải toán. Việc sử dụng phương pháp này giúp học sinh phát huy cao độ trí tưởng tượng và tư duy logic. Theo tôi là một giáo viên trong tương lai tôi thấy việc nghiên cứu giải toán, đặc biệt là phương pháp giả thiết tạm rất có ý nghĩa, nó giúp tôi hiểu về phương pháp và có thể hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt phương pháp này trong giải toán. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “Vận dụng phương pháp giả thiết tạm vào giải các bài toán nâng cao cho học sinh Tiểu học” để làm hướng nghiên cứu.

2. Nội dung

2.1. Phương pháp giải toán có lời văn ở tiểu học

2.1.1. Bài toán có lời văn

Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học bao gồm 4 mạch kiến thức chính là: số học, đại lượng và đo đại lượng cơ bản, một số yếu tố hình học và giải toán có lời văn. Ngoài ra còn một số yếu tố thống kê miêu tả được dạy lồng ghép trong nội dung số học. Các kiến thức cơ bản này giúp cho học sinh hình thành kĩ năng học toán và dần làm quen với kiến thức toán học cao hơn. Trong đó, giải toán có lời văn là một phần rất quan trọng của môn Toán Tiểu học. Nó góp phần vào việc cũng cố, luyện tập các kiến thức về số học, đại lượng, hình học đã học cũng như nâng cao năng lực tư duy của học sinh.

Các bài Toán có lời văn đơn giản có thể áp dụng ngay công thức, quy tắc có thể giải ra. Nhưng cũng có những bài toán phức tạp hơn không thể chỉ áp dụng ngay công thức hay quy tắc để tính mà phải  có các bước suy luận từ cái đã biết để suy ra cái cần tìm.

2.1.2. Các bước giải một bài toán có lời văn

Bước 1: Tìm hiểu đề bài

Đây là bước học sinh đọc kĩ đề bài, hiểu rõ đề bài, xác định các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm. Khi đọc bài toán phải hiểu thật kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng chỉ rõ tình huống toán học được diễn đạt theo ngôn ngữ thông thường. Nếu học sinh chưa hiểu một số thuật ngữ trong đề bài thì giáo viên cần hướng dẫn để học sinh hiểu được nội dung và ý nghĩa của từ đó trong bài toán.

   Từ đó học sinh có thể tóm tắt lại bài toán mà không cần đọc lại nội dung bài toán.

Bước 2: Lập kế hoach giải toán

• Bước này gắn liền với việc phân tích các dữ kiện và yếu tố phải tìm của bài toán nhằm xác lập mối quan hệ giữa chúng để phát hiện ra các phép tính cần thực hiện. Hoạt động này thường:

• Minh họa bài toán bằng tóm tắt đề toán dùng sơ đồ đoạn thẳng, dùng hình vẽ hay dùng biểu đồ ven…

• Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trình tự giải quyết  thực hiện các phép tính số học, có hai hình thức: đi từ câu hỏi của bài toán đến các số liệu hoặc đi từ các số liệu đến câu hỏi của bài toán.

Bước 3: Thực hiện giải toán

Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở bước lập kế hoạch giải toán, thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số có kèm theo lời giải.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu bài toán

• Bước này nhằm mục đích kiểm tra quá trình giải bài toán

• Tìm cách giải khác và so sánh các cách giải

- Khai thác bài toán tạo ra bài toán ngược với bài toán đã cho rồi giải bài toán đó.

- Thực tế đây chỉ là cách giải một bài toán cơ bản. khi học toán học sinh gặp các bài toán khó dễ khác nhau không thể tuần tự 4 bước trên mà giải ngay được. Khi gặp các bài toán như vậy cần có phương pháp để giải.

2.2. Phương pháp giả thiết tạm ở tiểu học

2.2.1. Khái niệm

Phương pháp giả thiết tạm là phương pháp áp dụng để giải các bài toán mà phần cần tìm gồm ít nhất hai số chưa biết, còn phần đã cho gồm một số điều kiện ràng buộc các số chưa biết đó với nhau. Ý tưởng của phương pháp này là nhờ một giả thiết tự đặt ra một cách thích hợp( giả thiết tạm) ta khử bớt các yếu tố tham gia vào các điều kiện đã cho, trên cơ sở đó tìm ra một số chưa biết, nó lần lượt tìm các số còn lại.

2.2.2. Phương pháp giả thiết tạm

Phương pháp này thường dùng  đối với bài toán, trong đó đề cập đến hai đối tượng (người, vật hay sự việc) có những tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ có hai năng suất khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau…

Phương pháp chung khi giải bài toán này: ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật thậm chí một tình huống vô lí (chính vì vậy phương pháp này đòi hỏi người giải toán sức tưởng tượng phong phú, suy luận linh hoạt…). Tất nhiên giả thiết ấy chỉ là tạm thời, nhưng phải tìm được giả thiết ấy, nhằm đua bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm.

Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm đều có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng, dễ hiểu, mang tính chất “độc đáo”.

2.2.3. Tác dụng của phương pháp giả thiết tạm

- Giả thiết tạm là phương pháp góp phần giúp học sinh có khả năng tư duy linh hoạt, sức tưởng tượng phong phú.

- Học sinh có thể giải bài toán sử dụng giả thiết tạm một cách ngắn gọn, dễ hiểu hơn.

- Huy động được khả năng, trí tuệ của học sinh để giải bài toán.

2.2.4. Các bước giải bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm

Bước 1: Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào đó của bài toán nhưng vẫn tôn trọng các dữ kiện của bài.

Bước 2: Từ dữ kiện hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan đến nó cũng thay đổi theo điều kiện bài.

Bước 3: Phân tích sự thay đổi đó, rồi đối chiếu các điều kiện của bài toán phát hiện ra nguyên nhân thay đổi và tìm ra phương pháp điều chỉnh thích hợp để đáp ứng toàn bộ yêu cầu của bài.

Ví dụ: “ Vừa gà vừa chó

               Bó lại cho tròn

               Ba mươi sáu con

               Một trăm chân chẵn

               Hỏi bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

CÁCH GIẢI:

Bước 1: Theo dữ kiện đề bài thì cả gà và chó là 36 con. Nhưng ta giả thiết tạm là cả 36 con đều là chó.

Bước 2: Từ giả thiết tạm đó dẫn đến các dữ kiện thay đổi theo là:

Nếu cả 36 con đều là chó  thì tổng số chân lúc này là:

36 4= 144 (chân)

Thực tế đầu bài là 100 chân, như vậy số chân thừa ra là:

144 - 100 = 44 (chân)

Bước 3: Phân tích sự thay đổi, tìm ra nguyên nhân thay đổi và tìm ra cách điều chỉnh thích hợp.

Sở dĩ như vậy là do số chân của mỗi con gà được tính thừa ra là:

4 - 2 = 2 (chân)

Vậy số gà là:

44 : 2 = 22 (con)

Số chó là:

36 – 22 = 14 (con)

2.3. Vận dụng giải các dạng toán ở Tiểu học bằng phương pháp giả thiết tạm

2.3.1. Bài toán số học

Ví dụ 1: Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng một phần tư số thứ nhất kém một phần sáu số thứ hai là 4 đơn vị.

Giải

Giả sử mỗi 1/4 số thứ nhất thêm 4 đơn vị sẽ bằng 1/6 số thứ hai

Lúc này, số thứ nhất tăng thêm 4×4=16.

Tổng mới sẽ là: 104 + 16 =120

Số thứ nhất có 4 phần, số thứ hai có 6 phần nên tổng số phần bằng nhau là 4 + 6 = 10 (phần)

Số thứ hai: 120 : 10 × 6 = 72

Số thứ nhất: 104 – 72 = 32

Đáp số: 32 và 72

2.3.2. Các bài toán về chuyển động đều

Mối tương quan giữa quãng đường, vận tốc và thời gian của một chuyển động                  

S = v.t , v = ,

2.3.2.1. Chuyển động ngược chiều

Hai vật chuyển động với vận tốc lần lượt là v₁ và v₂. Xét cùng một thời điểm xuất phát sau thời gian t thì một vật đi được quãn đường S₁₌v₁.t thì v₂ đi được quãng đường S₂₌v₂.t. Khi đó tổng quãng đường mà hai vật di chuyển được S=S₁ +S₂=v₁.t + v₂.t = t.(v₁+v₂)

Hai vật chuyển động ngược chiều tức tương đương với một vật chuyển động có vận tốc v=v₁ + v_2.

Thời gian hai xe gặp nhau là  t =

2.3.2.2. Chuyển động cùng chiều

Hai vật cùng xuất phát chuyển động với vận tốc v₁, v₂ (v₂>v₁) ứng với thời gian t₁, t₂. Tương đương với với một vật chuyển động với vận  tốc v=v₂ – v₁. Vì vậy vật thứ hai đuổi kịp vật thứ nhất khi đó cả hai xe đã đi được quãng đường S thì thời gian hai vật đuổi kịp nhau là: : t =

Khi hai xe đuổi nhau tính tại thời điểm hai xe cùng xuất phát và khi đó hai xe cách nhau một quãng đường S₁. Sau khoảng thời gian t thì hai vật cách nhau quãng đường S₂ thì khi đó t = 

2.3.2.3. Dạng toán hai chuyển động ngược chiều gặp nhau

Dạng toán cơ bản : Hai vật cùng chuyển động một thời điểm

Hai vật chuyển động với vận tốc v₁, v₂ trên cùng một quãng đường có độ dài S, khởi hành cùng một lúc và chuyển động ngược chiều.

Thời gian hai vật chuyển động gặp nhau là: t = s: (v1+ v2)

Ví dụ 1: Dạng cơ bản

Dùng giả thiết tạm để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 2: Lúc 7 giờ sáng 1 ô tô đi từ A về B. Lúc 9 giờ sáng một người đi từ B về phía A và gặp ô tô lúc 12 giờ trưa trên đường đi. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng trong 1 giờ cả ô tô và xe máy đi được quảng đường 86 km và quảng đường AB dài 358 km.

CÁCH GIẢI:

Thời gian để xe máy đi tới chổ gặp nhau là:

12 – 9 = 3 ( giờ )

Giả sử 2 xe cùng xuất phát lúc 7 giờ thì 3 giờ sau họ cách nhau quảng đường là:

358 – ( 86 x 3 ) = 100 ( giờ )

Khoảng cách trên chính là quảng đường ô tô đi được trong 2 giờ đầu:

Vận tốc ô tô là: 100 : 2 = 50 ( km/giờ )

Vận tốc xe máy là: 85 – 50 = 36 ( km/giờ )

                             Đáp số: 50 km/h

1.  

2.3.2.4. Dạng toán về vận tốc trung bình

Dạng toán cơ bản: Trên cùng quãng đường S, một vật chuyển động với vận tốc v_1,  thời gian t₁. Một vật chuyển động với vận tốc v₂ , thời gian t₂ .

 Vận tốc trung bình là: V_tb = (S+ S) : (t₁ + t₂ )

Nếu quãng đường S = S₁ + S₂ + S₃ + ..............+ S_n  với vận tốc,thời gian tương ứng lần lượt là v₁ , v₂ , v₃........., v_n  và t₁ , t₂ , t₃ ,................, t_n . Khi đó:

V_tb  =( S₁ + S₂  + S₃ +.......+S_n) : ( t₁ + t₂ + t₃ + .......+ t_n)

Ví dụ : Dạng cơ bản

 Dùng giả thiết tạm để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 2 :Một người đi xe đạp với vận tốc 12 km/h và một ô tô đi với vận tốc 28 km/h cùng khởi hành lúc 6 giờ tại thời điểm A để đi đến địa điểm B. Sau nữa giờ một xe máy đi với vận tốc 24 km/h cũng xuất phát từ A để đi đến B. Hỏi trên đường AB vào lúc mấy giờ thì xe máy ở điểm chình giữa xe đạp và ô tô ?

CÁCH GIẢI:

Giả sử có một chiếc xe khác là X xuất phát từ A cùng vào lúc 6 giờ và có vân tốc trung bình cộng của vận tốc xe đạp và ô tô thì xe X sẽ luôn ở điểm chính giữa khoảng cách giữa xe đạp và ô tô.

Lúc xe máy đuổi kịp xe X thì cũng chính là lúc xe máy ở điểm chính giữa khoảng cách xe đạp và ô tô.

Vận tốc xe X là:

( 12 + 28 ) : 2 = 20 ( km/h )

Sau nữa giờ xe X đi được:

20 x 0,5 = 10 ( km )

Để đuổi kịp xe X thì xe máy phải đi trong:

10 : ( 24 – 20 ) = 2,5 ( giờ )

Vậy xe máy ở điểm chính giữa xe đạp và ô tô lúc:

6 + 0,5 + 2,5 = 9 ( giờ )

Đáp số: 9 ( giờ )

2.3.2.5. Dùng giả thiết tạm đưa về bài toán “tìm số chưa biết khi biết hiệu 2 số”

Ví dụ

2.3.3.  Bài toán về phân số, tỉ số phần trăm

Phân số, trong đó a là tử số, b là mẫu số (a, b là số tự nhiên, b khác 0)

Để giải các bài toán nàyta cần lưu ý cho học sinh:

+ Thành thạo các phép toán về cộng, trừ, nhân, chia phân số.

+ Cách tìm tỉ số phần trăm của hai số:

Tìm thương của hai số đó rồi viết thương dưới dạng số thập phân.

Nhân thương đó với 100 rồi viết thêm  kí hiệu % vào bên phải tích vừa tìm được.

Cộng hai tỉ số phần trăm: muốn tính tổng của hai tỉ số phần trăm ta tính tổng số đó rồi viết thêm  kí hiệu % vào bên phải tổng vừa tìm được

Trừ hai tỉ số phần trăm: Ta tính hiệu hai số đó rồi viết thêm  kí hiệu % vào bên phải hiệu vừa tìm được.

2.3.4. Đối với bài toán tính tuổi

Bài toán tính tuổi

Hiệu số tuổi giữa hai người luôn luôn không thay đổi hay với hai số tự nhiên a, b bất kì khi thêm, hoặc bớt vào hai số đó với cùng một số thì hiệu giữa chúng không thay đổi.

2.3.5. Các bài toán về công việc chung

Khi giải các bài toán dạng này ta thường phải quy ước một đại lượng là đơn vị. Trong các bài tập về việc làm đồng thời, thường có vấn đề “làm chung, làm riêng”. Trong các bài tập đó, giá trị phải tìm có thể không phụ thuộc vàomột đại lượng nào đó.

2.3.6. Bài toán ba đại lượng

Cũng giống như nhóm các bài toán có hai đối tượng, nhóm này đề cập đến ba đối tượng, trong đó có sự biểu thị bằng các số chênh lệch nhau. Tuy nhiên nhóm loại này đã có sự hạn chế, ít hơn về số lượng bài không phong phú như nhóm bài toán hai đối tượng.

2.3.7. Bài toán bốn đại lượng

Từ các bài toán hai đại lượng (giả thiết đơn), ba đại lượng (giả thiết kép) ta còn có các bài toán bốn đại lượng. Với bài toán bốn đại lượng mức độ khó và phức tạpsẽ lớn hơn các bài toán hai đại lượng, ba đại lượng. Vì vậy để giải được những bài toán này thì yêu cầu các em cần thực hiện thành thạo việc giải các bài toán hai hay ba đại lượng. Khi đó thì việc giải các bài toán bốn đại lượng đối với các học sinh cũng không quá khó.

2.3.8. Một số bài Toán trong hình học

Một số công thức tính chu vi, diện tích của các hình cơ bản:

Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a

P = a.4

Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a,b (cùng đơn vị đo)

P = (a+b).2

Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a

S = a.a

Công thức tính diện tích hình chữ nhật cạnh a,b (cùng đơn vị đo)

S = a.b

Công thức tính diện tích hình bình hành có đáy bằng a, chiều cao bằng h (cùng đơn vị đo)

S = a.h

Công thức tính diện tích hình thoi co hai đường chéo m và n

S =

Công thức tính diện tích hình thang đáy lớn bằng a, đáy nhỏ bằng b và chiều cao h (cùng đơn vị đo)

S =

Công thức tính chu vi hình tròn bán kính r

P = r.2.3,14

Công thức tính diện tích hình tròn bán kính r

S = r.r.3,14

Một số ví dụ thường gặp

2.3.9. Bài toán cổ, toán vui

 Ví dụ 1:

Quýt ngon mỗi quả chia ba

Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười.

Mỗi người một miếng, trăm người

Có mười bảy quả không nhiều đủ chia.

Hỏi có bao nhiêu cam, bao nhiêu quýt?

CÁCH GIẢI:

Giả sử 17 quả là quýt cả thì số miếng là:

3  17 = 51  (miếng)

Như vậy, so với 100 miếng theo đề bài thì số miếng quýt bị hụt đi đó là:

100 – 51 = 49 (miếng)

Sở dĩ bị hụt đi là vì mỗi quả cam bị hụt đi:

10 – 3 = 7 (miếng)

Số cam có là:

49 : 7 = 7 (quả)

Số quýt có là:

17 – 7 = 10 (quả)

                   Đáp số: 7 quả cam

                                                                                                               10 quả quýt

 

3. Kết luận

Có thể thấy được rằng chương trình Toán ở Tiểu học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong các phần ví dụ minh họa cho các dạng bài tập sử dụng giả thiết tạm cho thấy việc sử dụng giả thiết tạm trong giải toán rất hiệu quả. Hầu hết các dạng Toán đều có thể vận dụng phương pháp giả thiết tạm. Việc vận dụng phương pháp này tạo cho học sinh khả năng tư duy toán học, Người giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng tốt các phương pháp để giải toán đạt hiệu quả.

Ở mỗi dạng bài có những ví dụ để minh họa cho học sinh và đưa ra lời giải cụ thể. Các ví dụ đưa ra có ví dụ dành cho hoc sinh bình thường và những ví dụ dành cho học sinh khá giỏi. Đề tài đã nêu dạng khái quát của một số dạng bài tập, lấy ví dụ từng dạng và dạng bài tập dựa trên dạng cơ bản để đưa về giả thiết tạm.

                                     TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đỗ Đình Hoan (2007), Toán 4, NXB Giáo dục

[2]. Đỗ Đình Hoan (2007), Toán 5, NXB Giáo dục

[3]. Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu  (2008), Các phương pháp giải Toán ở Tiểu học (tập 1), NXB Giáo dục