Tóm tắt

Rèn luyện tư duy toán cho học sinh tiểu học là một việc làm hết sức cần thiết. Bài viết này đưa ra một số bài toán về suy luận logic theo nội dung chương trình sách giáo khoa tiểu học nhằm rèn luyện tư duy toán cho học sinh tiểu học, làm cơ sở để các em học toán ở các bậc cao hơn.

Mở đầu

Rèn luyện và phát triển tư duy toán học cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục. Toán học là một môn học có tính trừu tượng cao, đồng thời có tính logic chặt chẽ; tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước để phát triển. Vì vậy để học toán tốt, đòi hỏi người học phải có một phương pháp tư duy khoa học logic. Hơn nữa, môn toán có tiềm năng dồi dào và cũng là một môi trường tốt nhất để rèn luyện và phát triển tư duy cho người học. Bài viết này dừng lại ở việc đưa ra một số bài toán về suy luận lôgíc bám sát với nội dung chương trình sách giáo khoa tiểu học nhằm rèn luyện tư duy toán học cho các em học sinh tiểu học, làm cơ sở để học toán ở các bậc cao hơn.

Nội dung

1. Giải các bài toán bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn

Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được rút ra chỉ dựa trên một số trường hợp riêng.

1.1. Hình thành tính chất giao hoán, kết hợp

Ngay từ khi vào lớp 1, khi học sinh học các bảng cộng giáo viên cần hướng dẫn học sinh hình thành tính chất giao hoán, kết hợp. Lên các lớp trên, giáo viên cần phát triển hơn về độ phức tạp của các phép tính.

Ví dụ:

a	b	c	(a + b) + c	a + (b + c)
3	4	5	12	12
2	3	5	10	10
4	6	1	11	11

Từ bảng trên học sinh rút ra được kết luận: Khi làm phép tính cộng, nếu thay đổi vị trí các số thì tổng không đổi.

1.2. Sử dụng quy nạp không hoàn toàn để phát hiện quy luật của dãy số

Các bài toán về dãy số ở tiểu học rất đa dạng và phong phú. Phương pháp giải cơ bản là giáo viên sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn để xác định quy luật của dãy số.

Ví dụ: Dãy số 11, 14, 17, …, 65, 68 có bao nhiêu số hạng?

Ta thấy trong dãy số đã cho số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó

cộng với 3 đơn vị (dãy cách đều).

Ta có : 11 = 11 + 0  × 3

           14 = 11 + 1 × 3

            17 = 11 + 2 × 3

                …………………

             68 = 11 + 19×3

Vậy, dãy số trên có tất cả là 20 số hạng. 

2. Giải các bài toán bằng phương pháp suy luận đơn giản

Muốn giải những bài toán dạng này cần phải có khả năng phán đoán và xâu chuỗi các dữ kiện của đề bài. Các suy luận thường tăng dần từ mức độ đơn giản đến phức tạp, không khó đến khó dần lên. Từ những cái ai cũng biết đến những cái phải tinh ý mới phát hiện ra. Đôi khi chỉ là những hiểu biết về thiên nhiên, xã hội, phong tục tập quán trong sinh hoạt hằng ngày.

Ví dụ :

Trên một dòng sông, có một người lái thuyền phải chở một con sói, một con dê và một chiếc bắp cải sang bờ bên kia. Khó một nỗi là thuyền của bác nhỏ nên mỗi chuyến chỉ chở được hoặc một con dê, hoặc một con sói, hoặc một chiếc bắp cải. Nhưng nếu chó sói đứng cạnh dê thì chó sói sẽ ăn thịt dê, mà dê dứng cạnh bắp cải sẽ ăn thịt bắp cải.

Làm thế nào bây giờ? Bác lái thuyền suy nghĩ một lúc rồi reo lên: "Ta đã có cách". Và rồi bác đã hoàn thành công việc thật xuất sắc. Đố các bạn biết bác đã làm thế nào?

Giải:

Bác lái thuyền đã chở được sói, dê và bắp cải sang sông bằng cách:

- Lần thứ nhất: Bác chở dê sang sông để sói và bắp cải ở lại vì sói không ăn bắp cải. Bác quay thuyền trở về.

- Lần thứ hai: Bác chở sói sang sông nhưng khi đưa sói lên bờ đồng thời bác lại cho dê xuống thuyền về bên kia vì nếu để dê lại thì dê sẽ là miếng mồi ngon của sói.

- Lần thứ ba: Bác chở bắp cải sang sông. Như vậy sói và bắp cải đã sang sông. Bác quay trở về bến cũ nơi có chú dê đang đợi.

- Lần thứ tư: Bác chở nốt chú dê sang sông

Như vậy, sau bốn lần, bác lái thuyền đã chở được sói, bắp cải và dê sang sông một cách an toàn.

3. Giải các bài toán bằng phương pháp tuyển chọn

Một số bài toán suy luận logic, để tìm ra “Ưu thế” của một đối tượng liên quan với một điều kiện đã cho nào đó, phải dùng phương pháp tuyển chọn.

Ví dụ:  Năm bạn trẻ An, Bình, Chiến, Danh & Em tham gia một buổi “Giao lưu văn nghệ” với 5 bài hát “Tốp ca” do Ban tổ chức gợi ý. Nhưng mỗi bạn chỉ thuộc 2 trong số 5 bài đó. (như bảng sau):

Bài hát      HS	Bài 1	Bài 2	Bài 3	Bài 4	Bài 5
A (An)	×		×
B (Bính)		×		×
C (Chiến)	×	×
D (Danh)		×			×
E (Em)	×			×
Cộng	3	3	1	2	1

Hỏi Ban tổ chức sẽ chọn 2 bài hát nào để 5 bạn đó ít nhất mỗi người cũng tham gia được 1 tiết mục?

Giải

Nhìn vào bảng liệt kê ở trên dễ dàng thấy Bài 1 và Bài 2 có số người biết nhiều nhất. Nếu chọn theo dòng “C- bạn Chiến” thì các bạn ở dòng A, B, D và E mỗi người đều tham gia được 1 bài. Vậy đáp án là: chọn Bài 1 và Bài 2.

Bài hát Tên HS	Bài 1	Bài 2	Bài 3	Bài 4	Bài 5
A (An)	×		×
B (Bính)		×		×
C ( Chiến)	×	×
D ( Danh)		×			×
E (Em)	×			×

4. Giải các bài toán bằng phương pháp loại trừ

Có nhiều bài toán thuộc dạng suy luận logic để thử trí thông minh và khả năng tư duy toán học. Để giải bài toán thuộc dạng này ta có thể dùng phương pháp loại trừ. Với bài đơn giản thì loại trừ không khó, nhưng một số bài phức tạp lắt léo thì lập bảng để loại trừ là cách tối ưu nhất.

Ví dụ:  Chuẩn bị vào năm học mới, HS Em nhờ HS Anh bọc hộ  3 quyển sách GK: tiếng Việt, Toán và Khoa học với 3 màu vàng, hồng và xanh. Em dặn Anh “Sách Khoa học bọc cho Em màu xanh, còn lại thì tùy ”. Bọc sách xong, Anh trả lại Em, cũng chỉ kịp nói: “Sách T. Việt anh không bọc màu vàng”.

Hỏi mỗi quyển sách: tiếng Việt, Toán và Khoa học đã được bọc bìa màu gì ?

Giải

Dùng phương pháp lập bảng & loại trừ dần, ta có Bảng 1 (để tiện theo dõi ta bôi màu vàng, hồng, xanh và đánh số các ô từ (1) đến (9)), ghi các dữ kiện đề bài đã cho với qui ước : “O” = không phải; “X” = Đúng màu

Bảng 1 (dữ kiện bài toán)

	T.Việt	Toán	Khoa học
Vàng	O (1)	(2)	(3)
Hồng	(4)	(5)	(6)
Xanh	(7)	(8)	X (9)

Suy luận loại trừ :

- Cột dọc Sách Khoa học; Chắc chắn chọn màu xanh ( Ô 9)

Do đó suy ra:    Cùng cột dọc ấy các ô 3 và 6 = “O”

Cùng hàng ngang (xanh) các ô 7 và 8 = “O”

- Hàng ngang (vàng) đã loại trừ Toán  & Khoa học , Ô 2 = X

- Cột dọc Sách T. Việt có Ô 1 & ô 7 = O ,Ô 4 =  X

Vậy có kết quả :   - Sách T. Việt màu hồng

                              - Sách Toán màu vàng

                             - Sách Khoa học  màu xanh

Bảng 2 (Đáp án)

	T.Việt	Toán	Khoa học
Vàng	O 1	X 2	O 3
Hồng	X 4	O 5	O 6
Xanh	O 7	O 8	X 9

5. Giải các bài toán bằng phương pháp biểu đồ Ven

Sơ đồ Venn (đọc là Ven) thường dùng để minh họa và giải các bài toán suy luận logic. Khi học sinh dùng sơ đồ đường thẳng minh họa bài toán có sự liên quan phức tạp khó khăn thì nên dùng sơ đồ này. Trong phạm vi của đề tài này, chúng tôi chỉ đề cập đến sơ đồ Ven đơn giản.

Ví dụ : Đội tuyển thi đá cầu và đấu cờ vua của trường tiểu học Minh Khai có 20 em, trong đó có 12 em thi đá cầu và 13 em thi đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn?

Giải

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

Số em chỉ thi đá cầu là : 20 – 13 = 7 (em)

Số em thi đấu cả 2 môn là : 12 – 7 = 5 (em)

                                        Đáp số: 5 em

6. Giải các bài toán bằng phương pháp suy diễn

Giải các bài toán bằng phương pháp suy diễn là suy luận bắt đầu từ cái chung đến cái riêng, từ quy tắc tổng quát áp dụng vào từng trường hợp cụ thể. Phép suy diễn luôn cho kết quả đúng nếu nó xuất phát từ mệnh đề đúng.

Ví dụ:

Muốn chứng tỏ 2022 chia hết cho 3, HS có thể suy luận làm như sau:

  - Ta biết quy tắc chung: “Các số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3”.

 -  Áp dụng vào trường hợp cụ thể 2022 có 2 + 0 + 2 + 2 = 6 chia hết cho 3.

 -  Vậy 2022 chia hết cho 3.

Ở đây quy tắc chung (a) đã được áp dụng vào trường hợp cụ thể (b) để rút ra kết luận (c). Vậy ta có một phép suy diễn.

7. Giải các bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối

Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đôi khi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối) .

Khi giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.

Ví dụ : Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 rồi bớt đi 4 và cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 12.

Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác trong đề bài bằng sơ đồ sau:

- Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả là 12 (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số).

- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 4 (Tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu số).

- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số).

- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 3, ta tìm được số trước khi nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia).

Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau:

Số thứ tư (số trước khi chia cho 3) là:

                             12 × 3 = 36

Số thứ ba (số trước khi bớt đi 4) là:

                             36 + 4 = 40

Số thứ hai (sốtrước khi cộng với 16) là:

                           40 - 16 = 24

Số cần tìm là:

                          24 : 2 = 12

                        Đáp số: Số cần tìm là 12.

8. Giải các bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm

Một bài toán cho hai giả thiết tương đồng a, b. Ta giả sử xảy ra giả thiết a thì ta gọi là phương pháp giả thiết tạm. Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật, thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có óc tưởng tượng phong phú và  suy luận linh hoạt...

Ví dụ :

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn”

Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

Giải:

Giả sử 36 con đều là chó cả (đây là giả thiết tạm), thì số chân sẽ là:

4 × 36 = 144 (chân).

Số chân dôi ra là:                 144 - 100 = 44 (chân)

Sở dĩ như vậy là vì số chân của mỗi con chó hơn số chân của mỗi con gà là:

4 - 2 = 2 (chân).

Vậy số gà là:                          44 : 2 = 22 (con).

Số chó là:                               36 - 22 = 14 (con).

Kết luận

Trên đây là một số bài toán suy luận logic ở tiểu học; tuy số lượng không nhiều, nhưng vẫn đảm bảo được sự phong phú đa dạng về nội dung và thể loại, nhiều bài toán mang tính chất vui đố nhưng không kém phần hóc búa, có thể tạo hứng thú và niềm say mê học tập cho các em học sinh tiểu học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Diên Hiển, 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4- 5, NXB Giáo dục, 2009.

2. Phan Hữu Chân -  Nguyễn Tấn Tài, Tập hợp và lô gíc số học, Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ cao đẳng và sư phạm 12 + 2 , NXB Giáo dục, 1998.