Khoa Sư phạm

Về một số yếu tố thống kê và xác suất trong các bộ sách giáo khoa môn Toán lớp 4 theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018

 Some factors of statistic and probability in the grade 4th math textbooks according to the 2018 general education program

Tóm tắt

Trong bài viết này chúng tôi phân tích các nội dung về mạch kiến thức “Một số yếu tố thống kê và xác suất” trong chương trình môn Toán lớp 4 và sự thể hiện các nội dung đó trong các bộ sách giáo khoa môn Toán lớp 4 đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo phê duyệt.

Từ khóa: Sách giáo khoa, thống kê, xác suất, số liệu, biểu đồ.

Abstract

In this article, we are going to analyze the content about "Some elements of statistics and probability" in the 4th grade Math curriculum and the performance of that content in 4th grade Math textbooks has been approved by the Ministry of Education and Training.

Keywords: Textbooks, statistics, probability, data, charts.

1. Đặt vấn đề

Môn Toán trong chương trình Giáo dục phổ thông (GDPT) 2018 được bố cục  thành ba mạch kiến thức chính, bao gồm: Đại số và một số yếu tố giải tích; Hình học và đo lường; Thống kê và xác suất. Trong ba mạch kiến thức này thì Thống kê và xác suất là mạch kiến thức có sự thay đổi nhiều nhất so với chương trình GDPT 2006. Nội dung Thống kê và xác suất được đưa vào chương trình môn Toán từ bậc tiểu học và bắt đầu từ lớp 2. Theo Quyết định số 4434/QĐ-BGDĐT ngày 21 tháng 12 năm 2022 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo về việc phê duyệt sách giáo khoa (SGK) được sử dụng trong cơ sở giáo dục phổ thông, môn Toán lớp 4 có bốn bộ SGK được phê duyệt bao gồm: bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, bộ sách Cánh Diều, bộ sách Chân trời sáng tạo và bộ sách Bình Minh [1]. Cả bốn bộ sách này đều đảm bảo nội dung Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 được ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo và đáp ứng các yêu cầu cần đạt của chương trình GDPT 2018. Tuy nhiên trong bố cục, cách trình bày, cách tiếp cận các nội dung về một số yếu tố thống kê và xác suất có một số điểm không hoàn toàn giống nhau.

Năm học 2023- 2024 là năm học đầu tiên thực hiện chương trình GDPT 2018 đối với học sinh lớp 4 cùng với sự ra đời của các bộ SGK của các nhóm tác giả khác nhau tạo ra sự đa dạng và có nhiều lựa chọn cho giáo viên giảng dạy cũng như các cơ sở giáo dục phổ thông. Trong bài viết này chúng tôi phân tích các nội dung về mạch kiến thức “Một số yếu tố thống kê và xác suất” trong chương trình môn Toán lớp 4 và tìm hiểu, so sánh sự thể hiện các nội dung đó trong các bộ SGK.

2. Nội dung

2.1. Một số yếu tố thống kê trong các bộ sách giáo khoa môn Toán lớp 4 theo chương trình GDPT 2018

Theo chương trình GDPT 2018, trong chương trình môn Toán lớp 4, nội dung về một số yếu tố thống kê bao gồm: Thu thập, phân loại, sắp xếp các số liệu; đọc, mô tả biểu đồ cột; biểu diễn số liệu vào biểu đồ cột; hình thành và giải quyết vấn đề đơn giản xuất hiện từ các số liệu và biểu đồ cột đã có. Yêu cầu cần đạt của nội dung này là nhận biết được về dãy số liệu thống kê, cách sắp xếp dãy số liệu thống kê theo các tiêu chí cho trước; đọc và mô tả được các số liệu ở dạng biểu đồ cột; sắp xếp được số liệu vào biểu đồ cột (không yêu cầu học sinh vẽ biểu đồ); nêu được một số nhận xét đơn giản từ biểu đồ cột; tính được giá trị trung bình của các số liệu trong bảng hay biểu đồ cột; làm quen với việc phát hiện vấn đề hoặc quy luật đơn giản dựa trên quan sát các số liệu từ biểu đồ cột và giải quyết được những vấn đề đơn giản liên quan đến các số liệu thu được từ biểu đồ cột [2].

Những hoạt động thực hành và trải nghiệm kèm theo các nội dung này là: thực hành thu thập, phân tích, biểu diễn các số liệu thống kê (thông qua một số tình huống đơn giản gắn với những vấn đề phát triển kinh tế, xã hội hoặc có tính toàn cầu như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính, chủ quyền biển đảo, biên giới, giáo dục STEM,...) [2].

Các bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, bộ sách Cánh Diều, bộ sách Bình Minh đều đưa các nội dung về thống kê và xác suất vào sách toán 4 tập 2 còn bộ sách Chân trời sáng tạo thì trình bày trong sách toán 4 tập 1. Trong cả bốn bộ sách giáo khoa môn toán lớp 4, nội dung về các yếu tố thống kê đều được bố cục trong hai bài học: Dãy số liệu thống kê (Dãy số liệu) và Biểu đồ cột.

Trong bài “Dãy số liệu thống kê”, cả bốn bộ sách đều giới thiệu dãy số liệu thống kê thông qua các ví dụ đơn giản, dễ hiểu và phù hợp với nhận thức của học sinh lớp 4.

Bài 49- “Dãy số liệu thống kê”, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, trình bày ví dụ về Rô-bốt lần lượt ghi chép độ dài quãng đường (theo đơn vị: km) mà bạn ấy đi được trong mỗi buổi đạp xe từ thứ Hai đến thứ Sáu là: 1, 2, 2, 2, 3. Đây là một dãy số liệu. Nhìn vào dãy số liệu đó học sinh được cung cấp các thông tin như:

- Số thứ nhất trong dãy số liệu là 1; tức là ngày thứ Hai Rô-bốt đi được 1 km.  Số thứ hai trong dãy số liệu là 2; tức là ngày thứ Ba Rô-bốt đi được 2 km, …

- Dãy số liệu có 5 số, đây chính là quãng đường đi được trong 5 ngày của Rô-bốt trong tuần. Thứ Hai, Rô-bốt đi được 1 km. Thứ Ba, Rô-bốt đi được 2 km. Thứ Tư, Rô-bốt đi được 2 km. Thứ Năm, Rô-bốt đi được 2 km. Thứ Sáu, Rô-bốt đi được 3 km.

Ngoài ra khi nhìn vào dãy số liệu này thì học sinh sẽ đưa ra được các nhận xét về độ dài quãng đường mà Rô-bốt đi được trong mỗi ngày, quãng đường dài nhất, quãng đường ngắn nhất, trung bình mỗi ngày độ dài quãng đường mà Rô-bốt đi được trong một buổi tập, …

Bài 87- bộ sách Cánh Diều, trình bày hai ví dụ để giới thiệu dãy số liệu. Ví dụ 1 về số điểm trong mỗi trận đấu của đội bóng rổ trong giải bóng rổ thành phố là: 12; 16; 19; 7; 20 và sau đó giới thiệu “Các số liệu thống kê như trên là một dãy số liệu thống kê”. Ví dụ 2 về số đo chiều cao của 10 bạn học sinh cũng cho ta một dãy số liệu thống kê.

Bài 16- bộ sách Chân trời sáng tạo đã đưa ra ví dụ về số đo khối lượng của bốn con thỏ là 800 g; 1 kg 500 g; 1 kg; 1 kg 200 g và giới thiệu dãy số liệu.

Bài 111- bộ sách Bình Minh thì giới thiệu dãy số liệu thông qua ví dụ về số đo chiều cao của bốn bạn Xuân, Hạ, Thu, Đông: 135 cm, 142 cm, 132 cm, 130 cm.

Sau khi giới thiệu khái niệm dãy số liệu thống kê, chỉ có bộ sách Chân trời sáng tạo trình bày cách sắp xếp dãy số liệu trong hoạt động khám phá còn ba bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, bộ sách Cánh Diều và bộ sách Bình Minh thì đưa việc sắp xếp dãy số liệu vào trong hoạt động luyện tập. Ba bộ sách này cũng có đề cập đến số trung bình của dãy số liệu trong bài “Dãy số liệu thống kê” còn bộ sách Chân trời sáng tạo thì trình bày về số trung bình trong bài 19 -Tìm số trung bình cộng sau khi đã học các nội dung về dãy số liệu, biểu đồ cột và số lần lặp lại của một sự kiện.

Tiếp nối cách mô tả số liệu thông qua biểu đồ tranh được giới thiệu trong chương trình môn Toán lớp 2, trong chương trình môn Toán lớp 4 học sinh được trang bị các nội dung về biểu đồ cột bao gồm: đọc, mô tả biểu đồ cột; biểu diễn số liệu vào biểu đồ cột; hình thành và giải quyết vấn đề đơn giản xuất hiện từ các số liệu và biểu đồ cột đã có.

Cả bốn bộ SGK môn Toán lớp 4 đều thiết kế bài “Biểu đồ cột” liền sau bài Dãy số liệu thống kê (Dãy số liệu). Các bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống,  Chân trời sáng tạo, Bình Minh giới thiệu biểu đồ cột thông qua các ví dụ cụ thể và phân tích dựa trên các ví dụ đó.

Bài 17- “Biểu đồ cột”, bộ sách Chân trời sáng tạo đã đưa ra tình huống có vấn đề của các bạn hoc sinh đó là: Ở biểu đồ tranh, các số liệu thể hiện bằng hình ảnh vậy thì “Nếu quá nhiều hình ảnh thì bất tiện nhỉ!”. Sau tình huống đó SGK đã giới thiệu ví dụ về số cây đã trồng của khối lớp Bốn được mô tả thông qua biểu đồ dạng cột. Biểu đồ cho biết số cây đã trồng của các lớp 4A, 4B, 4C, 4D, 4E. Hàng ngang bên dưới biểu đồ cho biết các lớp tham gia trông cây. Có 5 cột biểu thị cho 5 lớp 4A, 4B, 4C, 4D, 4E. Các số ghi ở cột bên trái của biểu đồ chỉ số cây. Mỗi cột tô màu biểu thị số cây trồng của mỗi lớp. Lớp 4A trồng được 18 cây, lớp 4B trồng được 15 cây, ... Dựa vào độ cao thấp của các cột màu xanh ta so sánh được số cây đã trồng của các lớp, biết được trong khối lớp Bốn lớp nào trồng được nhiều cây nhất, lớp nào trồng được ít cây nhất, lớp này trồng được nhiều hơn (ít hơn) lớp kia bao nhiêu cây, ...

Cũng giới thiệu Biểu đồ cột thông qua ví dụ trồng cây, bài 113- Bộ sách Bình Minh đưa ra ví dụ về số cây bản Tả Van trồng được trong ba năm 2020, 2021, 2022. Biểu đồ cho chúng ta biết được các thông tin như: năm 2020, bản Tả Van trồng được 8 000 cây; năm 2021, bản Tả Van trồng được 7 000 cây; năm 2022, bản Tả Van trồng được 9 000 cây.

Bài 50- bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống đã giới thiệu Biểu đồ cột sau khi đưa ra tình huống bạn Mai vừa thực hiện một cuộc khảo sát về môn thể thao yêu thích nhất của mỗi bạn trong nhóm, sau đó Rô-bốt đã vẽ biểu đồ cột biểu diễn số liệu mà bạn Mai đã thu thập được.

Khác với ba bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, bộ sách Chân trời sáng tạo, bộ sách Bình Minh, trong bài 88- bộ sách Cánh Diều trình bày Biểu đồ cột bắt đầu từ định nghĩa “Biểu đồ là một cách biểu diễn số liệu thống kê dưới dạng các hình vẽ”. Sau đó giới thiệu Biểu đồ cột thông qua ví dụ về “Số học sinh lựa chọn vật nuôi trong gia đình”. SGK Cánh Diều đã tổng quát các nội dung về biểu đồ cột bao gồm: Tên biểu đồ; tên các đối tượng thống kê được viết ở phía dưới của mỗi cột; chiều cao của cột biểu thị số liệu thống kê. Còn ở các bộ sách còn lại thì chỉ phân tích các nội dung trong biểu đồ với số liệu cụ thể.

Một điểm khác nữa ở bộ sách Cánh Diều so với ba bộ sách còn lại là biểu đồ cột trong bộ sách Cánh Diều được thể hiện trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, trong đó trục Ox biểu thị “Con vật”, trục Oy biểu thị “Số học sinh”. Trong ba bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Chân trời sáng tạo và Bình Minh thì chỉ trình bày biểu đồ cột mà không có đầy đủ tia Ox, tia Oy trong hệ tọa độ Oxy.

Về nội dung một số yếu tố thống kê, trong chương trình GDPT 2018 có nhiều điểm khác so với chương trình GDPT 2006. Theo chương trình 2006, biểu đồ cột và biểu đồ tranh đều được đưa vào chương trình môn Toán lớp 4 còn theo chương trình 2018 thì nội dung về biểu đồ tranh đã được đưa vào chương trình lớp 2 còn biểu đồ cột thì trình bày trong chương trình lớp 4.

Như vậy các nội dung về một số yếu tố thống kê trong chương trình môn Toán lớp 4 theo chương trình 2018 đã có một số thay đổi. Các nội dung về thống kê đang còn ở mức độ đơn giản, dễ tiếp cận và phù hợp với nhận thức học sinh lớp 4. Thông qua nội dung này học sinh nhận biết được về dãy số liệu thống kê, cách sắp xếp dãy số liệu thống kê theo các tiêu chí cho trước; đọc và mô tả được các số liệu trong biểu đồ cột; sắp xếp được số liệu vào biểu đồ cột và nêu được một số nhận xét đơn giản từ biểu đồ cột.

2.2. Nội dung xác suất trong các bộ sách giáo khoa môn Toán lớp 4 theo chương trình GDPT 2018

Theo chương trình GDPT 2018, xác suất là nội dung lần đầu tiên được đưa vào chương trình môn Toán tiểu học và bắt đầu từ lớp 2. Nội dung xác suất trong chương trình môn Toán lớp 4 là sự tiếp nối mạch kiến thức về xác suất ở lớp 2 và lớp 3. Sau khi học sinh đã nhận biết và mô tả được các khả năng xảy ra (có tính ngẫu nhiên) của một sự kiện khi thực hiện một lần thí nghiệm đơn giản trong chương trình môn Toán lớp 3 thì nội dung xác suất trong chương trình môn Toán lớp 4 là kiểm đếm số lần lặp lại của một khả năng xảy ra nhiều lần của một sự kiện. Yêu cầu cần đạt của nội dung này là kiểm đếm được số lần lặp lại của một khả năng xảy ra (nhiều lần) của một sự kiện khi thực hiện (nhiều lần) thí nghiệm, trò chơi đơn giản như tung đồng xu, lấy bóng từ hộp kín,....

Nội dung về xác suất đều được cả bốn bộ SGK môn Toán lớp 4 trình bày trong một bài học duy nhất. Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống trình bày trong bài 51- Số lần xuất hiện của một sự kiện.

Tình huống được đưa ra trong bức tranh dường như là bạn Việt vừa quay xong vòng quay còn bạn Nam đang ghi chép nội dung gì đó. Khi bạn Việt thực hiện quay vòng quay thì có hai sự kiện có thể xảy ra là: hoặc là mũi tên dừng lại ở phần màu vàng, hoặc là mũi tên dừng lại ở phần màu đỏ. Bạn Việt thực hiện 20 lần quay và bạn Nam ghi lại kết quả vào bảng kiểm đếm. Nhìn vào bảng kiểm đếm mà bạn Nam ghi lại ta thấy có 9 lần mũi tên dừng lại ở phần màu đỏ và 11 lần mũi tên dừng lại ở phần màu vàng. Như vậy các bước để thực hiện việc kiểm đếm số lần xuất hiện của một sự kiện là:

-  Nêu các sự kiện có thể xảy ra khi thực hiện thí nghiệm, trò chơi;

- Thực hành thí nghiệm, trò chơi và ghi lại kết quả vào bảng thống kê kiểm đếm;

- Nêu kết quả và nhận xét.

Qua việc phân tích ví dụ trên chúng ta thấy rằng việc bạn Việt thực hiện quay vòng quay một lần chính là bạn Việt đã thực hiện một phép thử với hai biến cố sơ cấp là “mũi tên dừng lại ở phần màu vàng” và “mũi tên dừng lại ở phần màu đỏ”. Bạn Việt thực hiện 20 lần quay và bạn Nam ghi lại kết quả vào bảng kiểm đếm được xem như là hai bạn đã tiến hành thực hiện dãy gồm 20 phép thử độc lập và đây chính là dãy phép thử Bernoulli. Khả năng xuất hiện biến cố “mũi tên dừng lại ở phần màu vàng” hay biến cố “mũi tên dừng lại ở phần màu đỏ” ở mỗi lần thực hiện vòng quay luôn luôn bằng nhau. Kết quả của dãy 20 phép thử này là 11 lần xuất hiện biến cố “mũi tên dừng lại ở phần màu vàng” 9 lần xuất hiện biến cố “mũi tên dừng lại ở phần màu đỏ”.

Trong bài 89- Kiểm đếm số lần xuất hiện của một sự kiện của bộ sách Cánh Diều, đã đưa ra tình huống ba bạn cùng chơi trò chơi tung đồng xu. Bạn thứ nhất tung đồng xu 5 lần liên tiếp, bạn thứ hai quan sát và ghi lại mặt xuất hiện của đồng xu, bạn thứ ba đếm số lần xuất hiện mặt S. Ở mỗi lần tung đồng xu, hai sự kiện có thể xảy ra là: mặt N xuất hiện, mặt S xuất hiện. Sau khi tung đồng xu 5 lần, các bạn đã kiểm đếm được số lần xuất hiện lặp lại của mặt N và mặt S. Trong ví dụ SGK đưa ra, các lần tung thứ 1, 2, 4 mặt N xuất hiện còn ở các lần tung thứ 3, 5 thì mặt S xuất hiện. Như vậy sau 5 lần tung đồng xu kết quả là mặt N xuất hiện 3 lần, mặt S xuất hiện 2 lần. Mỗi lần bạn học sinh tung đồng xu là là bạn đó đã thực hiện một phép thử. Hai kết quả của phép thử là “mặt S xuất hiện” và “mặt N xuất hiện” là hai biến cố sơ cấp của phép thử tung đồng xu. Bạn học sinh đã thực hiện tung đồng xu 5 lần chính là bạn đó đã thực hiện dãy 5 phép thử Bernoulli.

Cũng tương tự tình huống tung đồng xu ở bộ sách Cánh Diều, trong bài 18- Số lần lặp lại của một sự kiện trong bộ sách Chân trời sáng tạo đã trình bày tình huống ném bóng vào rổ của ba cầu thủ.

Huấn luyện viên cần kiểm tra kỹ năng ném bóng vào rổ của ba cầu thủ: Đỗ Minh An, Vũ Thái và Trần Khoa. Huấn luyện viên đã tiến hành kiểm tra bằng cách yêu cầu mỗi cầu thủ thực hiện 100 lần ném bóng. Ở mỗi lần các cầu thủ ném bóng, hai sự kiện có thể xảy ra là “bóng vào rổ” hoặc “bóng không vào rổ”. Đây chính là hai biến cố sơ cấp của phép thử “ném bóng”. Sau khi mỗi cầu thủ thực hiện 100 lần ném bóng thì huấn luyện viên đã kiểm đếm được số lần ném bóng vào rổ. Ví dụ cầu thủ Đỗ Minh An sau khi thực hiện 100 lần ném bóng thì có 69 lần bóng vào rổ. Như vậy, theo lý thuyết xác suất thì cầu thủ Đỗ Minh An đã thực hiện 100 phép thử độc lập của dãy phép thử Bernoulli và biến cố “bóng vào rổ” đã xảy ra 69 lần.

Trong bài 115- Số lần lặp lại của một sự kiện của bộ sách Bình Minh cũng đưa ra tình huống tương tự như ba bộ sách còn lại. Có bốn quả bóng (hai quả bóng màu xanh và hai quả bóng màu đỏ) trong đĩa. Bạn Tùng (bịt mắt) đã thực hiện 8 lần, mỗi lần lấy một quả bóng từ trong đĩa rồi bỏ lại đĩa và lấy lần tiếp theo.

Mỗi lần bạn Tùng lấy một quả bóng thì có hai sự kiện có thể xảy ra là: “lấy được quả bóng màu xanh” hoặc “lấy được quả bóng màu đỏ”. Mỗi lần bạn Tùng thực hiện việc lấy quả bóng thì các bạn sẽ quan sát xem bạn Tùng đã  lấy ra được quả bóng màu gì và ghi lên bảng kiểm. Sau 8 lần bạn Tùng thực hiện xong việc lấy bóng thì các bạn đã ghi được kết quả các lần lấy bóng và biết được có bao nhiêu lần lấy được bóng màu xanh, bao nhiêu lần lấy được bóng màu đỏ. Khi bạn Tùng (bịt mắt) lấy bóng từ trong đĩa chính là bạn Tùng đã thực hiện một phép thử ngẫu nhiên với hai biến cố sơ cấp là “lấy được quả bóng màu xanh” hoặc “lấy được quả bóng màu đỏ”. Bạn Tùng thực hiện việc lấy bóng 8 lần tức là đã thực hiện dãy gồm 8 phép thử độc lập. Số bóng ở trong đĩa khi bạn Tùng lấy mỗi lần luôn luôn không đổi (2 bóng màu xanh và 2 bóng màu đỏ) do đó khả năng bạn Tùng lấy được bóng màu xanh (đỏ) ở mỗi lần lấy luôn luôn bằng nhau và ta thấy dãy 8 phép thử mà bạn Tùng thực hiện là dãy phép thử Bernoulli. 

Như vậy trong cả bốn bộ SGK đều trình bày nội dung “Số lần xuất hiện (lặp lại) của một sự kiện” trên cơ sở lý thuyết xác suất là số lần xuất hiện của một biến cố ngẫu nhiên trong dãy phép thử Bernoulli ví dụ như: ném bóng vào rổ 100 lần, tung đồng xu 5 lần, lấy bóng từ hộp kín 8 lần, quay vòng quay 20 lần. Nội dung xác suất trong chương trình môn Toán lớp 4 theo chương trình 2018 được các bộ SGK trình bày đáp ứng được yêu cầu cần đạt là kiểm đếm được số lần lặp lại của một khả năng xảy ra (nhiều lần) của một sự kiện khi thực hiện (nhiều lần) thí nghiệm, trò chơi đơn giản như tung đồng xu, lấy bóng từ hộp kín, ném bóng vào rổ, ...

3. Kết luận

Sau khi phân tích, tìm hiểu nội dung về một số yếu tố thống kê và xác suất trong chương trình GDPT môn Toán và sự thể hiện các nội dung đó trong bốn bộ SGK đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo phê duyệt, chúng tôi nhận thấy các bộ SGK đã thiết kế, trình bày các bài học trong mạch kiến thức này hoàn toàn phù hợp, đáp ứng yêu cầu đạt của chương trình giáo dục phổ thông 2018. Cả bốn bộ SGK này đều bố cục nội dung thống kê trong hai bài học và nội dung xác suất trong một bài học. Các bài học đều được các bộ SGK môn Toán lớp 4 trình bày logic, dễ hiểu, dễ tiếp cận và phù hợp nhận thức của học sinh lớp 4.

 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2022), Quyết định 4434/ QĐ-BGDĐT ngày 21 tháng 12 năm 2022, Phê duyệt sách giáo khoa lớp 4 sử dụng trong cơ sở giáo dục phổ thông.

[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.

[3] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT Ban hành chương trình Giáo dục phổ thông.

[4] Trần Nam Dũng (Tổng chủ biên), Khúc Thành Chính (Chủ biên), Đinh Thị Xuân Dung, Nguyễn Kính Đức, Đậu Thị Huế, Đinh Thị Kim Lan, Huỳnh Thị Kim Trang (2022), Toán 4 (tập 1) – Bộ sách Chân trời sáng tạo, Nxb Giáo dục Việt Nam.

[5] Trần Diên Hiển (Chủ biên), Nguyễn Đình Khuê, Đào Thái Lai, Nguyễn Thị Kiều Oanh, Phạm Thanh Tâm, Nguyễn Thúy Vân (2022), Toán 4 (tập 2)– Bộ sách Bình Minh, Nxb Đại học Vinh.

[6] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành, Vũ Dương Thụy (2014), Toán 4, Nxb Giáo dục Việt Nam.

[7] Hà Huy Khoái (Tổng chủ biên), Lê Anh Vinh (Chủ biên), Nguyễn Áng, Vũ Văn Dương, Nguyễn Minh Hải, Hoàng Quế Hường, Bùi Bá Mạnh (2022), Toán 4 (tập 2) – Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Nxb Giáo dục Việt Nam.

[8] Đỗ Đức Thái (Tổng chủ biên), Đỗ Tiến Đạt (Chủ biên), Nguyễn Hoài Anh, Trần Thuý Ngà, Nguyễn Thị Thanh Sơn (2022), Toán 4 (tập 2)– Bộ sách Cánh Diều, Nxb Đại học Sư phạm.