Khoa Sư phạm

Các con số có vai trò rất quan trọng mọi lĩnh vực của đời sống con người. Việc phát minh và đặt tên các con số được tuân theo những quy luật thú vị.

Phát minh ra những con số là một trong những thành tựu to lớn của nhân loại. Các con số là thứ luôn bị cho là khô khan, nhức đầu. Nhưng thực ra khi khám phá được những điều đặc biệt ẩn chứa đằng sau những con số đó sẽ khiến bạn cảm thấy chúng rất hay ho. Bài viết này xin đưa ra cho người đọc một góc nhìn mới để có những khám phá thú vị về toán học và các con số.

1. Số hoàn hảo

Trong lý thuyết số, một số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo khi nó bằng tổng tất cả các ước nguyên dương của nó, trừ chính nó. Hoặc một định nghĩa khác, một số được gọi là hoàn hảo khi nó bằng nửa tổng các ước nguyên dương của nó (tính cả chính nó). Chẳng hạn, số hoàn hảo đầu tiên là 6, vì:

6 = 1 + 2 + 3, hoặc 6 = (1 + 2 + 3 + 6):2

Các số 6, 28, 496, là những số nhỏ nhất, là những số đầu tiên mà người ta tìm thấy, có chung đặc điểm như vừa nêu trên – đúng bằng tổng các ước số nhỏ hơn chính chúng. Người ta gọi những số như thế là các số hoàn hảo.

Vậy có một qui luật chung nào về số hoàn hảo không, làm thế nào để chúng ta “nhận diện” được ra các số hoàn hảo như thế này giữa bao nhiêu là số trong thế giới của các con số?. Từ thời cổ xưa, các nhà toán học Hy Lạp đã để mắt đến những số hoàn hảo đầu tiên. Nhưng mãi về sau người ta mới lần tìm được thêm các số hoàn hảo tiếp theo. Sau ba số kể trên, số tiếp theo là 8128, và số hoàn thảo thứ năm là một con số to tướng: 33.550.336. Phải tới cuối thế kỷ 16 một nhà toán học người Ý mới tìm ra số hoàn hảo thứ sáu: 8.589.869.056, và rồi số thứ bảy: 137.438.691.328. Nhưng chúng vẫn chưa là gì so với số thứ tám được tìm thấy, với 19 chữ số tất cả: 2.305.843.008.139.952.128. Không bé tin hin như ba số đầu tiên kể trên, số này đã vươn tới tận hàng… tỷ tỷ, và không khỏi khiến cho nhiều người trong chúng ta hoang mang…

May sao, ngay từ khoảng hai ngàn ba trăm năm trước, Euclid lập luận rằng nếu lấy số 2 luỹ thừa lên p lần rồi trừ kết quả đi 1 (viết theo kiểu toán học là: 2^p −1) mà ta được một số nguyên tố thì kết quả của phép tính sau đây sẽ cho ra một con số hoàn hảo: 2^p-1(2^p−1) – và đó sẽ là một số hoàn hảo chẵn (chia hết cho 2). Người ta cũng biết, để cho 2^p −1 là một số nguyên tố (nghĩa là các số không chia hết cho bất kỳ con số nào khác ngoài 1 và chính bản thân nó), thì bắt buộc chính số p phải là một số nguyên tố. Cũng cần lưu ý rằng điều ngược lại chưa chắc đúng, nghĩa là cũng có khi số p là một số nguyên tố nhưng 2^p −1 lại không phải là số nguyên tố. Các nhà toán học gọi những thứ như vậy là điều kiện “cần và đủ”, và người ta cũng gọi các số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng 2^p −1 là các số nguyên tố Mersenne. Những người nghiên cứu Lý thuyết Số băn khoăn trong một thời gian dài, rằng ngoài cách làm của Euclid nói trên, liệu còn các số hoàn hảo chẵn nào khác, nằm ngoài qui luật đó không. Phải tới tận năm 1849, nhà toán học Euler mới chứng minh được chắc chắn rằng công thức của Euclid không những là đúng mà là duy nhất, không có số hoàn hảo chẵn nào nằm ngoài qui luật đó cả. Như vậy là có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các số nguyên tố Mersenne với các số hoàn hảo chẵn. Nghĩa là nếu ta tìm được một số nguyên tố Mersenne, thì sẽ lập tức tìm ra được một số hoàn hảo chẵn. Và loài người lại lao vào truy tìm các số nguyên tố Mersenne.

Tại hội nghị thường niên của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ năm 1903, nhà toán học Frank Cole đã bước lên bục trình bày và làm một việc khác thường. Trong nhiều năm trước đó người ta đã nghi ngờ rằng số M67 – cách gọi tắt số 2⁶⁷ -1 hình như không phải là một số nguyên tố, nhưng chưa ai chứng minh nổi. Frank đã bước tới bảng và dùng phấn tính tay trước mặt mọi người trong khán phòng phép luỹ thừa đó, rồi trừ đi 1, cho ra kết quả: 147.573.952.589.676.412.927.

Rồi ông làm tiếp phép nhân hai con số khủng: 193.707.721 × 761.838.257.287

cho ra đáp án đúng bằng kết quả của phép tính 2⁶⁷ -1 lúc trước, chứng minh được rằng số 2⁶⁷ -1  hoá ra không phải là một số nguyên tố, bởi nó có hai ước số khổng lồ nói trên, ngoài 1 và chính nó. Sau hàng tiếng đồng hồ tính toán trên bảng, ông về chỗ ngồi, vẫn không nói một lời nào, và cả khán phòng vỗ tay vang dội. Có lẽ đó là một trong những bài trình bày vô tiền khoáng hậu trong lịch sử của Hội Toán học Hoa Kỳ. Mãi sau này, người ta mới biết rằng, để có thể tính tay ra con số đó, Frank đã phải tận dụng thời gian rảnh rỗi của tất cả các ngày chủ nhật trong 3 năm liên tiếp. Chúng ta có thể hình dung rằng khi chưa tới kỷ nguyên của các máy tính điện tử thì việc tính tay như Frank đã làm đơn điệu, nhàm chán đến mức nào. Chả thế mà mỗi khi người ta tìm được một số nguyên tố Mersenne mới, chúng đều được nâng niu vô cùng. Số nguyên tố Mersenne thứ 23 là 2¹¹²¹³ -1 được tìm ra vào đầu tháng 6 năm 1963, mà so với nó thì số hoàn hảo thứ tám (với 19 chữ số, đã tới hàng tỷ tỷ kể trên) chỉ là một chú bé, bởi 2¹¹²¹³ -1 cho ta một kết quả khổng lồ, bao gồm 3.376 chữ số. Sau đó người ta làm hẳn một dấu bưu điện ghi nhớ sự kiện này tại Urbana, tiểu bang Illinois, Hoa Kỳ.

Cho đến tận bây giờ, dù có các máy điện toán hiện đại hỗ trợ, người ta mới chỉ tìm được tới số hoàn hảo thứ 47 (gồm 25.956.377 chữ số). Và nữa, chưa có ai đoán chắc được rằng ngoài các số hoàn hảo chẵn này, liệu có tồn tại các số hoàn hảo nhưng là số lẻ hay không…

2. Số kì quặc

Để hiểu số kì quặc là gì, ta cần đi qua hai định nghĩa: Số phong phú và số bán hoàn hảo.

Số phong phú là các số mà tổng các ước số của số đó (không kể chính nó) lớn hơn số đó. Ví dụ, số 12 có tổng các ước số (không kể 12) là 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12. Do đó 12 là một số phong phú.

Số bán hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng tất cả hoặc một số ước của nó. Như vậy, tập số bán hoàn hảo rộng hơn tập số hoàn hảo. Một số số bán hoàn hảo: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40…

Như vậy, giữa hai tập hợp số bán hoàn hảo và số phong phú có các phần tử chung.

Vậy số kì quặc là gì? Một số là số kì quặc nếu nó là số phong phú nhưng không phải là số bán hoàn hảo. Nói cách khác, tổng các ước của nó là lớn hơn số đó, nhưng tổng của một số hoặc tất cả các ước không bao giờ bằng số đó.

Vài số đầu tiên trong tập hợp số kì quặc là: 70, 836, 4030, và 5830.

3. Số hạnh phúc, số buồn bã

Những con số không lạnh lùng vô cảm đâu. Chúng cũng có tâm hồn đấy bạn ạ. Bằng chứng là trong toán học có khái niệm số hạnh phúc và số buồn bã.

Một số hạnh phúc được xác định bởi quá trình sau đây:

+ Với một số nguyên dương bất kì

+ Thay thế số đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó

+ Và lặp đi lặp lại quá trình cho đến khi được số bằng 1 hoặc nó lặp vô tận trong một chu kì mà không bao gồm 1.

Những con số kết thúc tại 1 là những con số hạnh phúc, trường hợp còn lại gọi là những con số không hài lòng (hoặc số buồn bã).

Hãy cùng thử với số 23:

+ Thứ nhất, 2²+3² = 4 + 9 = 13.

+ Tiếp theo: 1² + 3² = 1 + 9 = 10.

+ Cuối cùng: 1² + 0² = 1 + 0 = 1.

Đó là một số hạnh phúc.

Một số số hạnh phúc đầu tiên là 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100….

Điều thú vị là số hạnh phúc là rất phổ biến, có 143 số từ 0 đến 1000. Và số hạnh phúc lớn nhất với không có chữ số lặp lại là: 986.543.210. Đó là một con số hạnh phúc thực sự.

4. Số bất khả xâm phạm

Cái tên là lạ này được đặt cho những số “không thể” viết dưới dạng tổng tất cả các ước của một số nguyên dương bất kì (không tính số nguyên dương đó).

Chẳng hạn, 4 không phải là số bất khả xâm phạm vì 4= 3+1. Trong đó 3 và 1 là tất cả các ước của 9. Còn 5 là số bất khả xâm phạm vì cách duy nhất viết 5 = 4+1. Nếu bạn lý luận đây là tổng ước của 4 thì bạn nhầm. Vì tổng các ước của 4 phải là: 1+2=3.

Các số bất khả xâm phạm đầu tiên: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290…

5. Số tự mãn

Số tự mãn là số có tổng từng chữ số mũ k bằng chính nó, với k bằng chính số chữ số. Lúc này nó có tên gọi khác là số tự hảo bất biến (PPDI - Perfect and PluPerfect Digital Invariants).

Ví dụ:

153 = 1³ + 5³ + 3³.
370 = 3³ + 7³ + 0³.
371 = 3³ + 7³ + 1³.
407 = 4³ + 0³ + 7³.

1634 = 1⁴+6⁴+3⁴+4⁴

9208 = 9⁴+2⁴+0⁴+8⁴

9474 = 9⁴+4⁴+7⁴+4⁴

6. Emirp

Nếu bạn đang cố tra từ trên trong tiếng anh thì chắc sẽ không tìm thấy đâu. Bởi nó là từ viết ngược của từ “Prime”.

Một emirp là một số nguyên tố mà khi đảo ngược vị trí các chữ số của nó, ta cũng được một số nguyên tố. Định nghĩa này không bao gồm các số nguyên tố xuôi ngược (như 151 hoặc 787), cũng không phải số nguyên tố 1 chữ số như 7.

Những emirps đầu tiên được tìm ra là: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157...

7. Số mạnh mẽ

Bạn đã bao giờ nghe khái niệm số mạnh mẽ trong toán học? Những con số này manng tên Achilles - vị á thần có sức khỏe vô địch, gần như bất khả chiến bại nếu như không có điểm yếu cốt tử nằm ở gót chân.

Có lẽ từ đây, người ta mới đưa ra phân biệt ba thuật ngữ: số hoàn hảo, số Achilles, và số mạnh mẽ.

Một số được gọi là số mạnh mẽ khi nó đồng thời vừa chia hết cho số nguyên tố và chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó. Chẳng hạn, số 25 là số mạnh mẽ, vì nó vừa chia hết cho số nguyên tố 5, và bình phương của 5 (tức 25). Như vậy, một số mạnh mẽ, cũng có thể trùng với một số hoàn hảo (số hoàn hảo được định nghĩ như trên).

Một số Achilles là số mạnh mẽ, nhưng không phải là số hoàn hảo.

Sau đây là một danh sách của tất cả các con số mạnh mẽ giữa 1 và 1000: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

8. Cặp số thân thiết

Hai số tạo thành một cặp số thân thiết khi chúng tuân theo quy luật: Số này bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính số đó) và ngược lại – “Trong anh có tôi, trong tôi có anh, gắn bó thân thiết, không tách rời nhau”

Cặp số thân thiện đầu tiên được tìm ra, và cũng được chứng minh là cặp "số thân thiết" nhỏ nhất, là cặp số: 220 và 284. Hãy thử phân tích một chút: Số 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 và 110. Tổng của 11 ước số này vừa đúng bằng 284. Ngược lại, số 284 ngoài bản thân nó, nó còn 5 ước số khác là: 1, 2, 4, 71, 142, tổng của chúng cũng vừa đúng bằng 220.

Thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Fecma tìm ra cặp "số thân thiết" thứ hai là: 17296 và 18416. Cũng thời điểm ấy, một nhà toán học Pháp khác tìm ra cặp số thứ ba là: 9363544 và 9437056. Điều khiến người ta kinh ngạc nhất là nhà toán học Thuỵ Sỹ nổi tiếng Euler vào năm 1750 đã công bố một lúc 60 cặp số thân thiết. Giới toán học được một phen kinh hoàng, họ cho rằng: "Euler đã tìm ra hết cả rồi". Nhưng không ngờ, một thế kỷ sau, một thanh niên nước Ý mới 16 tuổi tên là Baconi đã công bố một cặp số thân thiết vào năm 1866, nó chỉ lớn hơn 220 và 284 một chút, đó là cặp số 1184 và 1210. Những nhà toán học lớn trước đó đã tìm ra chúng, để cho cặp số chẳng mấy lớn này dễ dàng qua mặt.

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà toán học bằng máy tính đã kiểm tra tất cả các số trong phạm vi 1 000 000, tổng cộng tìm được 42 cặp số thân thiết. Hiện nay, số lượng cặp số thân thiết được tìm thấy đã vượt quá con số 1000. Thế nhưng liệu có phải số thân thiết là nhiều vô hạn? Chúng phân bố có quy luật không? Những vấn đề này tới nay vẫn còn bỏ ngỏ.

Với thời đại công nghệ hiện nay, chỉ bằng một thuật toán C++ không quá phức tạp, bạn có thể tìm được rất rất nhiều các cặp số thân thiết.

9. Cặp số hứa hôn

Các con số cũng hứa hôn với nhau sao? Vâng, và người ta chứng minh được rằng, cặp số hứa hôn luôn gồm một số chẵn và một số lẻ (có lẽ là tượng trưng cho một nam và một nữ).

Cặp số hứa hôn là hai số nguyên dương sao cho: tổng các ước của số này (không tính số đó) nhiều hơn số kia đúng 1 đơn vị. Nói cách khác, (m, n) là một cặp số đã đính hôn nếu σ (m) = n + 1 và σ (n) = m + 1, trong đó σ (n) là tổng các ước của n.

Những cặp số hứa hôn đầu tiên đã được tìm ra: (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128).

Toán học là một ẩn số và chỉ khi tìm hiểu mày mò nó chúng ta mới có thể thấy được sự hấp dẫn thu hút đặc biệt đó. Hi vọng với những điều thú vị trên sẽ giúp chúng ta không còn cảm thấy môn Toán với các con số thật nhàm chán và không thu hút nữa mà nó có một lực hấp dẫn lạ thường.